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Area dell'Ingegneria
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Analisi matematica I
Prof. Giulio Cesare Barozzi
(Università di Bologna (Bologna - Italy))
Lingua contenuti:
Italiano
Descrizione del modulo
Il corso di Analisi Matematica 1 è un insegnamento fondamentale nel percorso formativo di ogni corso di laurea afferente alla Facoltà di Ingegneria, poiché fornisce gli strumenti di base del calcolo utili sia comprendere le altre discipline, quali le discipline di base come ad esempio quelle relative agli insegnamenti di Fisica, che qualunque altro insegnamento di carattere scientifico o prettamente tecnologico, quanto a dotare lo studente di una metodologia logico-deduttiva determinante per un corretto approccio nella risoluzione di problemi di più ampia natura.
Prerequisiti
Considerata la natura autonoma di un corso di Analisi Matematica di primo livello, ci si aspetta dallo studente la sola padronanza delle proprietà algebriche dei numeri reali; la conoscenza delle tecniche per la risoluzione delle equazioni e delle disequazioni di primo e secondo grado e le proprietà trigonometriche elementari delle funzioni circolari.
Scopi
Il primo dei corsi di Analisi Matematica relativo alla Facoltà di Ingegneria ha come obiettivo principale, quello di condurre lo studente ad acquisire, partendo dalle proprietà elementari dei numeri reali, la necessaria competenza nel calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di una variabile reale e il corretto atteggiamento per svolgere analisi qualitative nello studio delle funzioni reali attraverso la loro rappresentazione grafica.
Contenuti
Il corso di Analisi Matematica 1 è strutturato nei seguenti macro argomenti:
- Numeri reali
- Limiti e Continuità per le Funzioni reali di una variabile reale
- Derivabilità e Differenziabilità per le suddette funzioni e fondamenti della Teoria dell’Integrazione di Riemann con le relative tecniche di risoluzione degli integrali per funzioni reali di una variabile reale.
Testi
.
Esercitazioni
Gli esercizi proposti copiano i macro argomenti su cui è strutturato il presente corso. Tuttavia sono stati inseriti alcuni approfondimenti per meglio comprendere alcuni argomenti poco intuitivi. In particolare, considerato l’ampia classe di conoscenze e di relative tecniche, contenuta nel sistematico studio qualitativo di una funzione reale di una variabile reale, viene presentato un metodo dettagliato per come seguire correttamente detto studio.
Titolare dell'insegnamento
Nessun Docente attualmente disponibile per questo corso
Docente Video
Prof.
Giulio Cesare Barozzi
- Università di Bologna (Bologna - Italy)
Elenco delle lezioni
Lezione n. 1: Numeri naturali
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Giulio Cesare Barozzi
Presentazione del corso, prerequisiti
Numeri naturali
Assiomi di Peano
Principio di induzione
Lezione n. 2: Calcolo combinatorio
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Riepilogo lezione precedente
Potenza e fattoriale
Calcolo combinatorio
Coefficienti binomiali
Binomio di Newton
Lezione n. 3: Dai numeri naturali ai numeri interi
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Riepilogo lezione precedente
Numeri interi
Numeri razionali
Lezione n. 4: Dai numeri interi ai numeri razionali
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Riepilogo lezione precedente
Ordinamento dei numeri razionali
Densità dei numeri razionali
Estremi di un sottoinsieme di Q
Irrazionalità di ض2
Lezione n. 5: La rappresentazione decimale
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Riepilogo lezione precedente
Incompletezza dei razionali
Rappresentazione decimale dei razionali
Lezione n. 6: Il campo dei numeri reali
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Riepilogo lezione precedente
Numeri reali
Valore assoluto
Completezza di R e assioma di separazione
La trascendenza di P
Lezione n. 7: Disuguaglianze
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Riepilogo lezione precedente
Proprietà del valore assoluto
Medie geometriche e aritmetiche
Disuguaglianza di Bernoulli
Lezione n. 8: Funzioni e successioni reali
Visualizza argomenti della lezione
Riepilogo lezione precedente
Funzioni reali
Intervalli di R
Successioni reali
Lezione n. 9: Limite di funzioni
Visualizza argomenti della lezione
Riepilogo lezione precedente
Intorno di un punto
Punti di accumulazione
Il concetto di limite
Continuità di una funzione
Lezione n. 10: Estensione della nozione di limite
Visualizza argomenti della lezione
Riepilogo lezione precedente ed esempi
Funzioni divergenti
Limiti all'infinito
Unicità del limite, limite destro e limite sinistro
Lezione n. 11: Teoremi sui limiti (Prima parte)
Visualizza argomenti della lezione
Riepilogo lezione precedente
Somma di limiti
Limitatezza locale
Prodotto di limiti
Permanenza del segno
Funzione reciproca e rapporto di limiti
Lezione n. 12: Teoremi sui limiti (Seconda parte)
Visualizza argomenti della lezione
Riepilogo lezione precedente
Funzione composta
Confronto di limiti
Teorema dei due carabinieri
Continuità dell'esponenziale
Lezione n. 13: Teoremi sui limiti (Terza parte)
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Riepilogo lezione precedente
Il numero di Nepero
Continuità delle funzioni circolari
Il limite sinx/x
Regolarità delle funzioni monotone
Lezione n. 14: Proprietà delle funzioni continue su un intervallo
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Riepilogo lezione precedente
Teorema di Weierstrass
Teorema degli zeri
Teorema dei valori medi
Continuità sugli intervalli (Bolzano)
Continuità della funzione inversa
Lezione n. 15: Il concetto di derivata
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Coefficiente angolare ed esempi
Moto accelerato
Il concetto di derivata
Contuinità e derivabilità
Significato geometrico della derivata
Derivata dell'esponenziale e del logaritmo
Lezione n. 16: Teoremi sulle derivate
Visualizza argomenti della lezione
Riepilogo lezione precedente
Regole di derivazione
Lezione n. 17: Derivazione delle funzioni composte
Visualizza argomenti della lezione
Riepilogo lezione precedente
Derivazione della funzione composta
Derivazione della funzione inversa
Problemi di massimo e minimo relativo
Lezione n. 18: Massimi e minimi
Visualizza argomenti della lezione
Riepilogo lezione precedente
Problemi di massimo e minimo relativo: esempi
Lezione n. 19: Il teorema del valor medio
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Introduzione
Teorema di Rolle
Teorema di Lagrange e applicazioni
Teorema di Cauchy
Forme indeterminate
Introduzione alle regole di L'Hôpital
Lezione n. 20: I teoremi di L'Hospital
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I teoremi di L'Hôpital
Lezione n. 21: Concavità e convessità
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Riepilogo lezioni precedenti ed esempi
Insiemi convessi
Funzioni convesse e concave
Derivata seconda e convessità
Punti di flesso
Lezione n. 22: Grafici di funzioni (Prima parte)
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Riepilogo lezione precedente
Grafici di polinomi
Grafici di esponenziali
Grafici di funzioni iperboliche
Funzioni gaussiane
Lezione n. 23: Grafici di funzioni (Seconda parte)
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Funzioni di tipo gaussiano
Asintoti orizzontali e asintoti veriticali
Asintoti obliqui
Lezione n. 24: Definizione di integrale
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Introduzione
Definizione di trapezoide
Area del trapezoide
Integrale definito
Esempi
Lezione n. 25: Il teorema fondamentale del calcolo integrale
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Riepilogo lezione precedente
Definizione di primitiva
La funzione integrale
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Calcolo dell’integrale
Lezione n. 26: Proprietà dell'integrale
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Riepilogo lezione precedente
Operazioni con gli integrali
Monotonia dell’integrale
Teorema della media integrale
Lezione n. 27: Integrazione per parti e per sostituzione
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Integrazione per parti
Integrazione per sostituzione
Lezione n. 28: Estensione della nozione di integrale
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Riepilogo lezione precedente
Integrazione secondo Riemann
Funzioni integrabili
Lezione n. 29: Applicazioni del calcolo integrale ( Prima parte)
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Riepilogo lezione precedente
Somme di Riemann
Volume dei solidi di rotazione
Lezione n. 30: Applicazioni del calcolo integrale ( Seconda parte)
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Riepilogo Teorema del Calcolo Integrale
Esempi
Formula dei trapezi
Formula Cavalieri-Simpson