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Analisi matematica II
Prof. Giulio Cesare Barozzi
(Università di Bologna (Bologna - Italy))
Prof. Gino Tironi
(Università di Trieste (Trieste - Italy))
Lingua contenuti:
Inglese
Descrizione del modulo
Il secondo corso di Analisi Matematica è un naturale prolungamento degli argomenti contenuti nell’insegnamento di Analisi Matematica 1. Le caratteristiche di questo corso sono essenzialmente rivolte allo studio delle funzioni reali di più variabili reali e dunque forniscono allo studente i giusti strumenti per comprendere oltre ai problemi più complessi delle discipline fisiche e tecnologiche, anche argomenti di carattere economico, come il calcolo delle probabilità, che statistico.
Prerequisiti
La conoscenza degli argomenti del primo corso di Analisi Matematica è per ovvii motivi fondamentale. Considerato poi la natura degli oggetti di cui questo corso tratta, in particolare gli insiemi di definizione delle funzioni di più variabili e i sistemi di equazioni differenziali, è consigliabile avere conoscenza degli argomenti del corso di Geometria e Algebra Lineare.
Scopi
Il corso di Analisi Matematica 2 sviluppa principalmente i concetti appresi per lo studio delle funzioni reali di una variabile reale in un ambito di molte variabili, consentendo di raggiungere i medesimi risultati per le funzioni reali di più variabili reali. Inoltre, introduce le Equazioni Differenziali di tipo ordinario che sono alla base della comprensione di ogni fenomeno fisico, naturale ed economico.
Contenuti
Il corso di Analisi Matematica 2 completa innanzitutto, con le successioni e le serie numeriche e l’approssimazione di funzione mediante Serie di Taylor, il corso di Analisi matematica 1. Successivamente presenta il calcolo differenziale in più variabili, introducendo i concetti di derivata parziale, gradiente e differenziale totale. Il terzo macro argomento riguarda la teoria delle equazioni differenziali ordinarie, in particolare lo studio delle equazioni lineari e dei sistemi del primo ordine. Infine, generalizzando quanto svolto nel primo corso Analisi Matematica, viene svolta la teoria dell’integrazione in più variabili e sono presentate le tecniche risolutive degli integrali doppi e tripli.
Esercitazioni
Gli esercizi sono incentrati su ognuno dei macro argomenti del corso, ognuno dei quali di valenza fondamentale. Poiché gli argomenti presenti, oltre a ricoprire una loro autonoma rilevanza, sono fondamentali per poter svolgere le più complesse operazioni in qualsiasi disciplina necessitante del formalismo matematico, sono numerosi e anche di natura applicativa.
Titolare dell'insegnamento
Nessun Docente attualmente disponibile per questo corso
Docente Video
Prof.
Giulio Cesare Barozzi
- Università di Bologna (Bologna - Italy)
Prof.
Gino Tironi
- Università di Trieste (Trieste - Italy)
Elenco delle lezioni
Lezione n. 1: Limite di successioni (Prima parte)
Visualizza argomenti della lezione
Inizio - Introduzione ai limiti
definizione di successione
definizione di limite di successione
successioni monotone
Lezione n. 2: Limite di successioni (Seconda parte)
Visualizza argomenti della lezione
Inizio - riepilogo lezione precedente
successioni monotone limitate
numeri di Fibonacci
successione di Eulero - numero di Nepero
Lezione n. 3: Serie
Visualizza argomenti della lezione
Giulio Cesare Barozzi
Inizio - Rappresentazione dei numeri decimali
Il concetto di serie
Serie convergenti e divergenti:la serie geometrica
Condizione necessaria sulla convergenza delle serie
Serie a termini positivi
Lezione n. 4: Criteri di convergenza
Visualizza argomenti della lezione
Inizio - Riepilogo serie a termini positivi
Criterio del confronto
Criterio del rapporto
Assoluta convergenza
Criterio della radice
Serie a segni alterni
Lezione n. 5: Polinomi di Taylor (Prima parte)
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Inizio - Riepilogo funzioni polinomiali
Approssimazione di funzioni; simboli di Landau
Funzioni approssimabili: polinomio di Taylor
Lezione n. 6: Polinomi di Taylor (Seconda parte)
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Inizio - Riepilogo. Esempi sull'approssimazione di funzione
Lezione n. 7: Serie di Taylor (Prima parte)
Lezione n. 8: Serie di Taylor (Seconda parte)
Lezione n. 9: Approssimazione delle funzioni elementari
Lezione n. 10: Struttura di R^n
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Gino Tironi
inizio
Vettori di Rn
Prodotto scalare in Rn
Disuguaglianza di Cauchy Buniakovski Schwarz
Distanza in Rn
Topologia di Rn
Inizio - Presentazione corso e testi
R^n come spazio vettoriale
Vettori
Prodotto scalare
Norma in R^n
Distanza in R^n
Lezione n. 11: Continuità e differenziabilità di funzioni di più variabili
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Gino Tironi
inizio
Estensione delle nozioni di continuità
Limite alle funzioni di più variabili
Derivate direzionali e derivate parziali
Differenziale di una funzione di più variabili
Inizio - Riepilogo
Continuità in R^n
Limiti di funzioni a valori in R^n
Derivate parziali e derivate direzionali
Differenziale totale e differenziabilità di una funzione
Lezione n. 12: Conseguenze fondamentali della continuità e della differenziazione delle funzioni di più variabili
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Gino Tironi
inizio
Conseguenze della continuità delle funzioni
Teorema di Weierstrass
Teorema degli zeri
Conseguenze della differenziabilità
Ulteriori conseguenze della differenziabilità
Inizio - Riepilogo
Conseguenze della continuità in R^n
Proprietà delle funzioni differenziali
Gradiente di una funzione
Lezione n. 13: Calcolo differenziale per funzioni di più variabili (I parte)
Visualizza argomenti della lezione
Gino Tironi
inizio
Il teorema del differenziale totale
Regole di derivazione e differenziazione
Derivazione di funzione composta
Derivate successive
Altre notazioni per indicare le derivate successive
Inizio - Riepilogo
Teorema del differenziale totale
Regole di derivazione in più variabili
Derivate parziali successive
Lezione n. 14: Calcolo differenziale per funzioni di più variabili (II parte)
Visualizza argomenti della lezione
Gino Tironi
inizio
Formula di Taylor per funzioni di più variabili
Teorema di Taylor, per funzioni R2 -> R
Differenziali successivi
inizio - Riepilogo
Lezione n. 15: Calcolo differenziale per funzioni di più variabili (III parte)
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Gino Tironi
inizio
Massimi e minimi liberi
Teorema di Fermat
Forme quadratiche; criteri per i punti d’estremo liberi
Criterio di Jacobi - Sylvester
Inizio - Riepilogo
Punti dimassimo e di minimo liberi; punti singolari
Forme quadratiche
Condizioni sufficienti per massimi e minimi: determinante Hessiano
Lezione n. 16: Calcolo differenziale per funzioni di più variabili (IV parte)
Gino Tironi
Lezione n. 17: Calcolo differenziale per funzioni di più variabili (V parte)
Gino Tironi
Lezione n. 18: Equazioni differenziali ordinarie
Visualizza argomenti della lezione
Gino Tironi
inizio
Generalità sulle equazioni differenziali
Alcuni tipi d’equazioni del prim’ordine
Inizio - Riepilogo
Equazioni differenziali: definizione
Equazioni differenziali del I ordine: esempi
Lezione n. 19: Equazioni differenziali ordinarie. Altri tipi integrabili per quadratura
Visualizza argomenti della lezione
Gino Tironi
inizio
Ulteriori tipi d’equazioni del prim’ordine
Alcuni tipi d’equazioni del second’ordine
Inizio - Riepilogo
Equazioni differenziali del I ordine: metodo di quadratura; equazione di Bernoulli
Equazioni differenziali del II ordine
Lezione n. 20: Sistemi di equazioni ed equazioni differenziali lineari
Visualizza argomenti della lezione
Gino Tironi
inizio
Equazioni e sistemi d’equazioni differenziali ordinarie
Sistemi d’equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti continui
Inizio - Riepilogo
Equazioni differenziali e sistemi di equazioni differenziali
Sistemi di equazioni differenziali lineari
Lezione n. 21: Sistemi di equazioni ed equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti (I parte)
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Gino Tironi
inizio
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti
Equazione completa
Inizio - Riepilogo
Equazioni differenziali lineari i ordine n a coefficienti costanti
Lezione n. 22: Sistemi di equazioni ed equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti (II parte)
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Gino Tironi
inizio
Termini noti di tipo particolare
Oscillazioni forzate
Accenno ai sistemi con coefficienti costanti
Inizio - Riepilogo
Equazioni differenzaili non omogenee
Sistemi di equazioni differenziali a coefficienti costanti
Lezione n. 23: Integrale (di Riemann) per funzioni di due o tre variabili su rettangoli
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Gino Tironi
inizio
Integrali doppi e tripli
Funzioni integrabili: caratterizzazione
Lezione n. 24: Formule di riduzione per integrali doppi e tripli
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Gino Tironi
inizio
Formule di riduzione per integrali doppi e tripli
Teorema (di riduzione per integrali doppi)
Formula di riduzione per corde in R3
Formula di riduzione per sezioni in R3
Integrazione su insiemi limitati di Rm
Misura elementare o di Peano-Jordan
Inizio - Riepilogo
Lezione n. 25: Cambiamento di variabili per integrali doppi e tripli
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Gino Tironi
inizio
Cambiamento di variabili per integrali doppi e tripli
Teorema (cambiamento di variabili)
Coordinate polari
Coordinate cilindriche
Coordinate sferiche
Applicazioni al calcolo di aree, volumi, baricentri, momenti
Esempi
Baricentri
Momenti d’inerzia
Inizio - Riepilogo